life is easy going....

Sebagai contoh, marilah kita coba untuk mencari solusi sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut ini

x	+	y	−	z	=	1	(1)
8x	+	3y	−	6z	=	1	(2)
−4x	−	y	+	3z	=	1	(3)

Metode eliminasi

Metode ini bekerja dengan care mengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal.
Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunya koefisien yang sama (baik positif maupun negative) untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3). Koefisien untuk y adalah 1 dan -1 untuk masing-masing persamaan. Kita dapat mejumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan (4).

x	+	y	−	z	=	1	(1)
−4x	−	y	+	3z	=	1	(3)
-------------------------							+
−3x			+	2z	=	2	(4)

Perhatikan bahwa persamaan (4) terdiri atas variabel x dan z. Sekarang kita perlu persamaan lain yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan (4). Untuk mendapatkan persamaan ini, kita akan menghilangkan y dari persamaan (1) dan (2). Dalam persamaan (1) dan (2), koefisien untuk y adalah 1 dan 3 masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita kalikan persamaan (1) dengan 3 lalu mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1).

x

+

y

−

z

=

1

(1)

× 3

3x

+

3y

−

3z

=

3

(1)

−8x

+

3y

−

6z

=

1

(2)

−8x

+

3y

−

6z

=

1

(2)

-------------------------

-

−5x

+

3z

=

2

(5)

Dengan persamaan (4) dan (5), mari kita coba untuk menghilangkan z.

−3x

+

2z

=

2

(4)

× 3

−9x

+

6z

=

6

(4)

−5x

+

3z

=

2

(5)

× 2

−10x

+

6z

=

4

(5)

-------------------------

−

x

=

2

(6)

Dari persamaan (6) kita dapatkan x = 2. Sekarang kita bisa subtitusikan (masukkan) nilai dari x ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.

−3(2) + 2z	=	2	(4)
−6 + 2z	=	2
2z	=	8
z	=	8 ÷ 2
z	=	4

Akhirnya, kita substitusikan (masukkan) nilai dari z ke persamaan (1) untuk mendapatkany.

2 + y − 4	=	1	(1)
y	=	1 − 2 + 4
y	=	3

Jadi solusi sistem persamaan linier di atas adalah x = 2, y = 3, z = 4.

---

Metode substitusi

Pertama-tama, marilah kita atur persamaan (1) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.
Sekarang kita substitusi x ke persamaan (2).

8(1 − y + z) + 3y − 6z	=	1	(2)
8 − 8y + 8z + 3y − 6z	=	1
−5y + 2z	=	1 − 8
−5y + 2z	=	−7	(4)

Dengan cara yang sama seperti di atas, substitusi x ke persamaan (3).

−4(1 − y + z) − y+ 3z	=	1	(3)
−4 + 4y − 4z − y+ 3z	=	1
3y − z	=	1 + 4
3y − z	=	5	(5)

Sekarang kita atur persamaan (5) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.
Kemudian, substitusi nilai dari z ke persamaan (4).

−5y + 2(3y − 5)	=	−7	(4)
−5y + 6y − 10	=	−7
y	=	−7 + 10
y	=	3

Sekarang kita sudah tahu nilai dari y, kita dapat masukkan nilai ini ke persamaan (6) untuk mencari z.

z	=	3(3) − 5	(6)
z	=	9 − 5
z	=	4

Akhirnya, kita substitusikan nilai dari y dan z ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai x.

x	=	1 − 3 + 4	(1)
x	=	2

Jadi, kita telah menemukan solusi untuk sistem persamaan linier di atas: x = 2, y = 3, z = 4.

---

Metode grafik

Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang planar yang merupakan representasi dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut. Solusinya adalah koordinat-koordinat yang merupakan titik potong dari garis-garis ataupun bidang-bidang planar itu.
Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan liniear dengan dua variabel berikut ini.

x	+	y	=	3	(1)
2x	−	y	=	−3	(2)

Gambar kedua garis dari persamaan-persamaan di atas.
Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu (mempunyai titik potong) pada titik (0,3). Ini adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut, yaitu x = 0, y = 3.
Untuk persamaan linier dengan tiga variabel, solusinya adalah titik pertemuan dari tiga bidang planar dari masing-masing persamaan.

---

Metode Matriks Invers

System persamaan linier yang terdiri atas persamaan-persamaan (1), (2), dan (3) di atas dapat juga ditulis dengan bentuk notasi matriks AB = C seperti berikut

1 1 -1 8 3 -6 -4 -1 3

x y z

=

1 1 1

Solusinya adalah matriks B. Agar kita dapat mengisolasi B sendirian di salah satu sisi dari persamaan di atas, kita kalikan kedua sisi dari persamaan di atas dengan invers dari matriks A.

A−1AB	=	A−1C
B	=	A−1C

Sekarang, untuk mencari B kita perlu mencari A⁻¹. Silakan melihat halaman tentang matriks untuk belajar bagaimana mencari invers dari sebuah matriks.

A−1 =	-3 2 3 0 1 2 -4 3 5
B =	-3 2 3 0 1 2 -4 3 5	1 1 1
B =	2 3 4

Jadi solusinya adalah x = 2, y = 3, z = 4.
Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan n variabel. Kalkulator di atas juga menggunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.

---

Eliminasi Gauss / Eliminasi Gauss-Jordan

Sistem persamaan liniear yang terdiri atas persamaan-persamaan(1), (2), dan (3) dapat juga dinyatakan dalam bentuk matriks teraugmentasi A seperti berikut

A =	1 1 -1 1 8 3 -6 1 -4 -1 3 1

Dengan melakukan serangkaian operasi baris (Eliminasi Gauss), kita dapat menyederhanakan matriks di atas untuk menjadi matriks Eselon-baris.

A =	1 0,375 -0,75 0,125 0 1 -0,4 1,4 0 0 1 4

Kemudian kita bisa substitusikan kembali nilai-nilai yang kita dapat untuk mencari nilai dari semua variabel. Atau, kita juga bisa meneruskan dengan serangkaian operasi baris lagi sehingga matriks di atas menjadi matriks yang Eselon-baris tereduksi (dengan menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan).

A =	1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4

Dengan melakukan operasi Eliminasi Gauss-Jordan, kita mendapatkan solusi dari sistem persamaan linier di atas pada kolom terakhir: x = 2, y = 3, z = 4.
Untuk melihat secara mendetil operasi baris yang diperlukan, silakan melihat halaman tentang Eliminasi Gauss-Jordan.

sumber  : http://www.idomaths.com/id/persamaan_linier.php

1. Pengetahuan dianggap benar apabila dalil (proposisi) itu mempunyai hubungan dengan dalil (proposisi) yang terdahulu
2. Pengetahuan dianggap benar apabila ada kesesuaian dengan kenyataan
3. Pengetahuan dianggap benar apabila mempunyai konsekwensi praktis dalam diri yang mempunyai pengeahuan itu.

1. Tidak ada perasaan yang bersifat pamrih sehingga menacapi pengetahuan ilmiah yang obeyktif
2. Selektif, artinya mengadakan pemilihan terhadap problema yang dihadapi supaya didukung oleh fakta atau gejala, dan mengadakan pemilihan terhadap hipotesis yang ada
3. Kepercayaan yang layak terhadap kenyataan yang tak dapat diubah maupun terhadap indera dam budi yang digunakan untuk mencapai ilmu
4. Merasa pasti bahwa setiap  pendapat, teori maupun aksioma terdahulu telah mencapai kepastian, namun masih terbuka untuk dibuktikan kembali.

1. Rasionalistas, artinya tindakan spontan oleh teknik diubah menjadi tindakan yang direncanakan dengan perhitungan rasional
2. Artifisialitas, artinya selalu membuat sesuatu yang buatan tidak alamiah
3. Otomatisme, artinya dalam hal metode, organisasi dan rumusan dilaksanakan secara otomatis. Demikian juga dengan teknik mampu mengeliminasikan kegiatan non teknis  menjadi kegiatan teknis
4. Teknik berkembang pada suatu kebudayaan
5. Monisme, artinya semua teknik bersatu, saling berinteraksi dan saling bergantung
6. Universalisme, artinya teknik melampaui batas-batas kebudayaan dan ediologi, bahkan dapat menguasai kebudayaan
7. otonomi artinya teknik berkembang menurut prinsip-prinsip sendiri.

1. Teknik meluputi bidang ekonomi, artinya teknik mampu menghasilkan barang-barang industri. Dengan teknik, mampu mengkonsentrasikan capital sehingga terjadi sentralisasi ekonomi
2. Teknik meliputi bidang organisasional seperti administrasi, pemerintahan, manajemen, hukum dan militer
3. Teknik meliputi bidang manusiawi. Teknik telah menguasai seluruh sector kehidupan manusia, manusia semakin harus beradaptasi dengan dunia teknik dan tidak ada lagi unsur pribadi manusia yang bebas dari pengaruh teknik.

1. Persepsi manusia terhadap kebutuhan pokok yang diperlukan
2. Posisi  manusia dalam lingkungan sekitar
3. Kebutuhan objectif manusia untuk bisa hidup secara manusiawi

1. Tidak memiliki factor-faktor produksi sendiri seperti tanah, modal, ketrampilan. Dll
2. Tidak memiliki kemungkinan untuk memperoleh asset produksi dengan kekuatan sendiri, seperti untuk memperoleh tanah garapan ataua modal usaha
3. Tingkat pendidikan mereka rendah, tidak sampai taman SD
4. Kebanyakan tinggal di desa sebagai pekerja bebas
5. Banyak yang hidup di kota berusia muda, dan tidak mempunyai ketrampilan.

1. Kemiskinan yang disebabkan handicap badaniah ataupun mental seseorang
2. Kemiskinan yang disebabkan oleh bencana alam
3. Kemiskinan  buatan. Yang  relevan dalam hal ini adalah kemiskinan buatan, buatan manusia terhadap manusia pula yang disebut kemiskinan structural. Itulah kemiskinan yang timbul oleh dan dari struktur-struktur  buatan manusia, baik struktur ekonomi, politik, sosial maupun cultural. Selaindisebabkan oleh hal – hal tersebut, juga dimanfaatkan oleh sikap “penenangan” atau “nrimo”, memandang kemiskinan sebagai nasib, malahan sebagai takdir Tuhan. Kemiskinan menjadi suatu kebudayaan atau subkultur, yang mempunya struktur dan way of life yang telah turun temurun melalui jalur keluarga. Kemiskinan (yagn membudaya) itu disebabkan oleh dan selama proses perubahan sosial secara fundamental, seperti transisi dari feodalisme ke kapitalisme, perubahan teknologi yang cepat, kolonialisme, dsb.obatnya tidak lain adalah revolusi yang sama radikal dan meluasnya.